KATEGORI PELAJARAN: Matematika

BARISAN DAN DERET

Di dalam Matematika, sebuah barisan bilangan adalah daftar terurut dari suatu bilangan. Seperti layaknya himpunan, suatu barisan juga memiliki anggota (elemen) yang biasanya disebut suku. Contoh suatu barisan adalah sebagai berikut:

$(1, 1, 1, 1, 1, \cdots )$
$(1, 2, 3, 4, 5, 6 , \cdots)$
$(1, 4, 9, 16, \dotsc)$
$(1, 2, 4, 8, 16, \dotsc)$

Barisan bilangan bilangan bisa berupa barisan Aritmetika maupun barisan Geometri. Suku-suku yang berdekatan dari suatu barisan Aritemetika selalu memiliki selisih yang tetap/konstan, biasa disebut dengan beda. Dalam barisan geometri hasil bagi suku-suku yang saling berdekatan selalu tetap/konstan, yang disebut dengan rasio.

Deret bilangan merupakan penjumlahan suku-suku dari barisan yang bersesuaian. Contoh deret bilangan yang dibentuk dari barisan-barisan diatas adalah sebagai berikut:

$1 + 1 + 1 + 1 + 1 + \dotsb$
$1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \dotsb$
$1 + 4 + 9 + 16 + 25 + \dotsb$
$1 + 2 + 4 + 8 + 16 + \dotsb$

Deret aritemtika dapat dibentuk dari barisan aritmetika, dan deret geometri dapat diperoleh dari barisan geometri.

Barisan Aritmetika

Barisan aritmetika adalah barisan yang selisih antara suku-suku yang berdekatan tetap/konstan.

Rumus umum suku ke-

n

adalah

U_n = a + (n-1)b

dengan

a=U_1

adalah suku awal atau suku pertama dan

b=U_2 - U_1 = U_3 - U_2 = \dotsb

merupakan selisih suku-suku yang berdekatan.

Jumlah angka pada seluruh barisan:

S_n = \frac {n} {2} \times (a + U_n)

Barisan Geometri

U_{n} = ar^{n-1}

r = \frac {U_{2}} {U_{1}} = \frac {U_{3}} {U_{2}}

S_n = \frac {a\times (1-r^n)} {1-r}

Barisan aritmatika dan deret aritmatika sangat berhubungan, di mana jika suku-suku pada barisannya dijumlahkan, akan membentuk deret.

Ciri umum barisan aritmatika adalah selisih dari setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama, yang biasa disebut dengan beda atau ‘b’.

Sebagai contoh, 3, 6, 9, 12, … , merupakan barisan aritmatika, karena selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama, yaitu 6 – 3 = 9 – 6 = 12 – 9 = 3. 3 ini lah yang disebut dengan selisih atau beda (b).

Untuk mencari suku ke-n dari barisan tersebut, dapat digunakan rumus:

$U_n$ = a + (n – 1)b, dengan a merupakan suku pertama atau suku awal, b merupakan beda atau selisih setiap suku yang berurutan, sedangkan n merupakan nilai suku yang ke berapa yang akan kita hitung.

Contoh Soal: Tentukan suku ke 11 dari barisan berikut: 11, 18, 25, 32, …

Jawaban:

Perhatikan bahwa 18 – 11 = 25 – 18 = 7, sehingga barisan tersebut merupakan barisan aritmatika, sehingga:

$U_15$ = 11 + (15 – 1).7 = 11 + 98 = 109

Deret Aritmatika

Pada deret aritmatika, kita akan menghitung jumlah setiap suku pada barisan tersebut.

Sebagai contoh, 9 + 15 + 21 + 27 + … merupakan deret aritmatika, karena selisih dari setiap suku yang berurutan selalu sama, yaitu 15 – 9 = 21 – 15 = 6, dan merupakan bentuk penjumlahan.

Untuk mencari jumlah suku-sukunya hingga suku ke-n, dapat kita gunakan rumus:

$S_n = \frac{n}{2} . (a + U_n) = \frac{n}{2} . (2a + n - 1)b$ Dengan $S_n$ merupakan jumlah suku-suku hingga suku ke n, $U_n$ merupakan suku dengan urutan ke-n, a suku awal, dan b beda atau selisih barisan tersebut.

Contoh Soal: Tentukanlah jumlah dari 17 + 30 + 43 + … + 329.

Jawaban:

Karena selisih setiap suku yang berurutan sama, yaitu 13, dan berbentuk penjumlahan, maka penjumlahan bilangan tersebut merupakan deret aritmatika, sehingga dapat kita gunakan rumus $S_n$

Akan tetapi, nilai n belum kita ketahui, sehingga harus kita hitung terlebih dahulu dengan menggunakan $U_n$ seperti pada barisan aritmatika.

Dengan demikian, $U_n$ = 17 + (n – 1).13 = 329.

17 + 13n – 13 = 329

13n = 329 – 4 = 325